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                      Das Skatparadox         

Bekannterweise ist einer der größten Unterschiede von Skat zu anderen Denkspielen wie beispielsweise Schach der, dass bei jedem Spiel eine andere Anfangskonstellation vorhanden ist.

Ein weit verbreiteter Irrtum ist allerdings, dass die Anzahl dieser möglichen Kartenverteilungen am Anfang eines jeden Skatspiels so hoch ist, dass vermutlich kein Spieler jemals zweimal die gleiche Kartenverteilung erlebt.

Im folgenden wollen wir nun die Wahrscheinlichkeit, dass ein Spieler zweimal die gleiche Kartenverteilung erlebt, näher analysieren.

Die Anzahl aller möglicher Kartenverteilungen beträgt: 2.753.294.408.504.640

Eine weitere Aussage, die im Zusammenhang mit dieser Zahl gemacht wird, ist die folgende: "Ein Spieler müsste insgesamt über eine Milliarde Jahre Skat spielen, um zweimal in den Genuss derselben Kartenverteilung zu kommen."

Diese Aussage ist leider nicht zutreffend. Tatsächlich bräuchte der Skatspieler so lange, um sämtliche möglichen Kartenverteilungen durchzuspielen. Jedoch dürfte er bereits vorher mit ziemlich hoher Wahrscheinlichkeit zweimal auf dieselbe Kartenverteilung gestoßen sein.

Wir versuchen nun, diese Wahrscheinlichkeit in Zahlen auszudrücken.

Bezeichne p die Wahrscheinlichkeit, dass ein Skatspieler zweimal die gleiche Kartenverteilung erhält. Damit ist q = 1 - p die Wahrscheinlichkeit, dass er nicht zweimal die gleiche Kartenverteilung erhält. Es dürfte klar sein, dass p mit steigender Anzahl von gespielten Spielen ansteigt (und q in gleichem Maße abnimmt).

Diese Wahrscheinlichkeit beträgt

Wobei n die Anzahl möglicher Kartenkombinationen (s.o.) und k die Anzahl gespielter Spiele darstellt. Zur effizienteren Berechnung von q und zur Ermittlung von k gibt es folgende Abschätzungen. Auf die Herleitung dieser Abschätzungen wird ebenfalls verzichtet, der interessierte Skatfreund möge dem unten angeführten Literaturhinweis nachgehen.

Für k errechnen wir nun k = 40.714.229.

Somit erhalten wir für q die Wahrscheinlichkeit von 0,5 oder 50%! Somit ist die Wahrscheinlichkeit für p natürlich ebenfalls 0,5.                                                                           

Dies bedeutet: Nach "nur" 40.714.229 Spielen hat der Spieler mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% zwei Spiele mit der gleichen Kartenverteilung gespielt.

Also: Obwohl der Spieler "erst" 1 / 70.000.000 (ein siebzigmillionstel) aller möglichen Spiele gespielt hat, hat er mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit zwei der Spiele mit der gleichen Kartenverteilung gespielt.

Um dies - wie oben geschehen - in Jahren Spielzeit auszudrücken: Der Spieler müsste 15 Jahre lang (oben waren es noch über eine Milliarde Jahre) ununterbrochen Skat spielen, um (mit hoher Wahrscheinlichkeit) zweimal mit der gleichen Kartenverteilung zu spielen.

Für den mathematisch interessierten Skatfreund sei erwähnt, dass dieses "Phänomen" als "Das Geburtstagsparadox" bezeichnet wird (unter ca. 30 Leuten sind mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit zwei Personen, die am gleichen Tag Geburtstag haben).

Obwohl diese Zahlen natürlich schon ganz anders aussehen als die Zahlen weiter oben im Text (15 anstatt einer Milliarde Jahre), ist dieses Ergebnis natürlich stark idealisiert. Zum einen müsste dieser Spieler 15 Jahre am Stück Skat spielen, Tag und Nacht, zum anderen hat er selbst dann nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% tatsächlich zweimal mit der gleichen Kartenverteilung gespielt.

Geht man nämlich davon aus, dass ein sehr aktiver Skatspieler pro Woche 250 Spiele spielt (das entspricht ca. 5 Serien à 48 Spiele) und das zwischen seinem 20. und 80. Lebensjahr, so hat er insgesamt 795.000 Spiele gespielt. Die Wahrscheinlichkeit, dass unter diesen Spielen zwei Spiele mit der selben Kartenverteilung vorkommen, beträgt knapp 0,03% (verdoppelt er sein Pensum auf 500 Spiele/Woche beträgt die Wahrscheinlichkeit immerhin über 0,1%).

Fazit: Obwohl es tatsächlich äußerst unwahrscheinlich ist, dass ein Spieler in seinem Leben zweimal mit der selben Kartenverteilung spielt, ist es doch nicht so unwahrscheinlich, wie oftmals behauptet wird.

Stand: 31.7.2017